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(2)莫比乌斯带与克莱因瓶

文章发布时间:2015/5/26 13:09:15



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莫比乌斯带 公元1858年,德国数学家莫比乌斯(Mobius,1790~1868)发现:把一根纸条扭转180?后,两头再粘接起来做成的纸带圈,具有魔术般的性质。因为,普通纸带具有两个面(即双侧曲面),一个正面,一个反面,两个面可以涂成不同的颜色;而这样的纸带只有一个面(即单侧曲面),一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘!我们把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸带,称为“莫比乌斯带”。拿一张白的长纸条,把一面涂成黑色,然后把其中一端翻一个身,粘成一个莫比乌斯带。用剪刀沿纸带的中央把它剪开。你就会惊奇地发现,纸带不仅没有一分为二,反而剪出一个两倍长的纸圈!有趣的是:新得到的这个较长的纸圈,本身却是一个双侧曲面,它的两条边界自身虽不打结,但却相互套在一起!为了让读者直观地看到这一不太容易想象出来的事实,我们可以把上述纸圈,再一次沿中线剪开,这回可真的一分为二了!得到的是两条互相套着的纸圈,而原先的两条边界,则分别包含于两条纸圈之中,只是每条纸圈本身并不打结罢了。莫比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题,却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决!比如在普通空间无法实现的"手套易位"问题:人左右两手的手套虽然极为相像,但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去;也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去,左手套永远是左手套,右手套也永远是右手套!不过,倘若自你把它搬到莫比乌斯带上来,那么解决起来就易如反掌了。在自然界有许多物体也类似于手套那样,它们本身具备完全相像的对称部分,但一个是左手系的,另一个是右手系的,它们之间有着极大的不同。 “莫比乌斯带”在生活和生产中已经有了一些用途。例如,用皮带传送的动力机械的皮带就可以做成“莫比乌斯带”状,这样皮带就不会只磨损一面了。如果把录音机的磁带做成“莫比乌斯带”状,就不存在正反两面的问题了,磁带就只有一个面了。莫比乌斯带是一种拓扑图形,什么是拓扑呢?拓扑所研究的是几何图形的一些性质,它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变,只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点,又不产生新点。换句话说,这种变换的条件是:在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系,并且邻近的点还是邻近的点。这样的变换叫做拓扑变换。拓扑有一个形象说法——橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮做成的,就能把许多图形进行拓扑变换。例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈。但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成为一个阿拉伯数字8。因为不把圈上的两个点重合在一起,圈就不会变成8,“莫比乌斯带”正好满足了上述要求。
莫比乌斯带与克莱因瓶

莫比乌斯带与克莱因瓶

克莱因瓶:数学中的克莱因瓶(Klein bottle)是一种不可定向的闭曲面,没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念是由德国数学家菲利克斯?克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。
一个瓶子底部有一个洞,延长瓶子的颈部,并且扭曲地进入瓶子内部,然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样,这个物体没有“边”,它的表面不会终结,它也不类似于气球。一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面(所以说它没有内外部之分)[1]。 “克莱因瓶”这个名字的翻译其实是有些错误的,因为最初用德语命名时候名字中“Kleinsche Fl?che”是表面的意思。大概是误写为了“Flasche”,这个词才是瓶子的意思。不过不要紧,“瓶子”这个词用起来也非常合适。[1] 在1882年,著名数学家菲利克斯?克莱因(Felix Klein) 发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样封闭的(也就是说没有边)曲面,但是它却只有一个面。在图片上我们看到,克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底,它的瓶颈被拉长,然后似乎是穿过了瓶壁,最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话,我们就会得到一个轮胎面(即环面)。

克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面,如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中,我们只好将就点,只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上,克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的,并不穿过瓶壁。这是怎么回事呢?我们用扭结来打比方。如果我们把它看作平面上的曲线的话,那么它似乎自身相交,再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白,这个图形其实是三维空间中的曲线,它并不和自己相交,而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样,但是如果有第三维的话,它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时,只好将就一点,把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样,这是一个事实上处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中,即使是最高明的能工巧匠,也不得不把它做成自身相交的模样;就好像最高明的画家,在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。题图就是一个用玻璃吹制的克莱因瓶。有趣的是,如果把克莱因瓶沿着它的对称莫比乌斯带与克莱因瓶

莫比乌斯带与克莱因瓶

线切下去,竟会得到两个麦比乌斯圈!这就是科学的奇迹!请相信体会多维空间很奇妙!

 


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